２標本の差の検定について纏めておきたいと思います。
2つの標本 $X_{1}, X_{2} \cdots X_{n}$ と $Y_{1}, Y_{2}, \cdots Y_{m}$ について、それぞれの標本の平均を $\overline{X}, \overline{Y}$ とします。

$t$ 分布の定義

$t$ 分布の定義は以下の通りで、標準正規分布と ${\chi}^2$ 分布の商で表されてます。

$\displaystyle \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{n}}}{\sim}t_{n}$

$Z{\sim}N(0, 1)\\ W{\sim}{\chi}^2_{n}$

${\chi}^2$ 分布の自由度のところで証明した様に、平均値と偏差平方和は独立になります。
$Z$ には平均値が入り、 $W$ には偏差平方和が入るので、 $Z, W$ は独立ということになります。

分子の $Z$ について

まず、 $Z$ に入れる値について考えます。

$X, Y$ の母平均を $\mu_{1}, \mu_{2}$ 、母分散を共通として ${\sigma}^2$ とする。

${\chi}^2$ 分布の自由度は母平均 $\mu$ か、標本平均 $\overline{X}$ かで変わる。

$X{\sim}N({\mu, {\sigma}^2})$ の時、

$\begin{aligned} \displaystyle &\left( \frac{X_{1}-\mu}{\sigma}\right)^2 + \left( \frac{X_{2}-\mu}{\sigma} \right)^2 + \cdots + \left( \frac{X_{n}-\mu}{\sigma} \right)^2 {\sim} {\chi}^2_{n}\\ \displaystyle &\left( \frac{X_{1}-\overline{X}}{\sigma}\right)^2 + \left( \frac{X_{2}-\overline{X}}{\sigma} \right)^2 + \cdots + \left( \frac{X_{n}-\overline{X}}{\sigma} \right)^2 {\sim} {\chi}^2_{n-1} \end{aligned}$

また、平均 $\overline{X}$ と偏差 ${( X_{i}-\overline{X} )}^2$ は独立となる。

${\chi}^2$ 分布の再生性(reproduction)
自由度aの ${\chi}^2_{a}$ と、自由度bの ${\chi}^2_{b}$ の和は自由度a+bの ${\chi}^2_{a+b}$ に従う。

2つの母集団から、

$\displaystyle S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} - \overline{X}\right)^2 + \sum_{i=1}^{m}\left(Y_{i} - \overline{Y}\right)^2}{m+n-2}$

ここで、
$\overline{X}$ と $S^2$ は独立
$\overline{Y}$ と $S^2$ は独立

ここで、２つの母集団の母分散が等しい（等分散）であると仮定する。

$\displaystyle X{\sim}N({\mu}_{1}, {\sigma}^2)\\ Y{\sim}N({\mu}_{2}, {\sigma}^2)$

上式の両辺を ${\sigma}^2$ で割って整理すると、下式が得られる。

$\displaystyle \frac{(m+n-2)S^2}{{\sigma}^2} = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_{i} - \overline{X}}{\sigma}\right)^2 + \sum_{i=1}^{m}\left(\frac{Y_{i} - \overline{Y}}{\sigma}\right)^2$

右辺は自由度m+n-2の ${\chi}^2$ 分布に従う。

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_{i} - \overline{X}}{\sigma}\right)^2 + \sum_{i=1}^{m}\left(\frac{Y_{i} - \overline{Y}}{\sigma}\right)^2 {\sim} {\chi}^2_{m+n-2}$