標準化について - 小梅の日記帳

統計学では標準化とは、平均が０、分散が１のデータへ変換することを言う。

正規化とも呼ばれる。

この平均０、分散１へ変換出来ることを数学的に確かめたいと思う。

ある確率変数 $X$ について、母平均を $μ$ とすると、期待値は下記の様に表される。

$μ = E(X)$

$\Longleftrightarrow 0 = E(X) - μ$

$\Longleftrightarrow 0 = E(X - μ)$

これより、確率変数 $X-μ$ の平均は０となることが示せた。

次に、分散について考えてみる。

同様に確率変数 $X$ の標準偏差を $\sigma$ として、分散を ${\sigma}^2$ とすると、分散は下記の様に表される。

${\sigma}^2 = V(X)$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 1 = \frac{V(X)}{{\sigma}^2}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 1 = V(\frac{X}{\sigma})$

これより、確率変数 $\displaystyle \frac{X}{\sigma}$ の分散が１となることが示せた。

期待値と分散の加減乗除を理解するだけでも、基本的なことを証明できる様になるので良いと思う。